Chứng minh công thức Euler vĩ đại
Nhắc lại công thức Euler:
$$\boxed {e^{ix} = \cos x + i \sin x}$$
Đặt:
$$f(x) = \frac {\cos x + i\sin x} {e^{ix}}$$
Mục tiêu là ta sẽ đi chứng minh \(f(x) = 1\).
Ta viết lại \(f(x) = ({\cos x + i\sin x} )e^{-ix}\) cho dễ nhìn. Giờ ta đi tính đạo hàm
$$f'(x) = \left( ({\cos x + i\sin x} )e^{-ix} \right)'$$
Đặt \(u(x) = {\cos x + i\sin x}\) và \(v(x)=e^{-ix}\), vậy \(f(x)=u(x).v(x)\), áp dụng công thức:
$$f'(x) = u'(x).v(x) + u(x).v'(x)$$
Lúc đó ta có:
$$\begin{cases} u'(x) = -\sin x + i \cos x \\ v'(x) = -ie^{-ix} \\ \begin{align*} f'(x) &= u'(x).v(x) + u(x).v'(x) \\ &= e^{-ix}(-\sin x + i\cos x) + (-ie^{-ix}(\cos x + i \sin x)) \\ &= -\sin x e^{-ix} + i \cos x e^{-ix} - i\cos x e^{-ix} - \underbrace{i^2}_{-1}\sin x e^{-ix}\\ &= 0 \end{align*} \end{cases}$$
Wow, \(f'(x) = 0\) nghĩa là $f(x)$ là HẰNG SỐ không phụ thuộc vào giá trị của $x$. Từ đây, ta đơn giản chỉ cần tính một giá trị cụ thể của $x$ là biết được toàn bộ $f(x)$. Chọn \(x=0\), ta có \(\displaystyle f(0) = \frac {\cos 0 + i \sin 0} {e^{i0}} =1\), vậy \(f(x) = 1\) với mọi $x$.
Viết lại cho rõ:
$$f(x) = \frac {\cos x + i\sin x} {e^{ix}} = 1$$
Từ đó ta suy ra công thức Euler vĩ đại:
$$\boxed{e^{ix} = \cos x + i \sin x}$$