Fermat's latest theorem

💡

Định lý Fermat lớn (the Fermat’s last theorem) là một trong những bài toán nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học. Định lý này được nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat phát biểu vào năm 1637. Fermat tuyên bố rằng ông đã tìm ra một chứng minh nhưng không thể ghi lại vì lề sách quá nhỏ. Nó đã thách thức các nhà toán học trong hơn 350 năm. Phải đến năm 1994, định lý mới được chứng minh hoàn chỉnh bởi nhà toán học người Anh Andrew Wiles.

Định lý Fermat lớn phát biểu rằng:

$$x^n + y^n = z^n$$

không có nghiệm nguyên dương $x,y,z$ khi $n>2$.

Chúng ta sẽ chứng minh trường hợp đặc biệt khi $n=3$, nghĩa là:

$$\nexists x,y,z \in \mathbb N^* \text{ s.t } x^3 + y^3 = z^3$$

Chứng minh

Giả sử tồn tại $a,b,c \in \mathbb N^*$ thỏa mãn $\displaystyle a^3+b^3=c^3 \iff \left(\frac a c \right)^3 + \left(\frac b c \right)^3 = 1$

Gọi $\displaystyle x=\frac a c; y = \frac b c$ với $x,y \in \mathbb Q; x,y \ne 0 \text{ and } x,y \ne 1$ vì $a,b,c \ne 0$. Thay vào phương trình ta có:

$$\begin{align*} x^3 + y^3 - 1 = x^3-1 +y^3 = 0\\ \iff (x^3 - 1 + y^3)(x-1)^3 = 0 \\ \iff (x^3-1)(x-1)^3 + y^3(x-1)^3 = 0 \end{align*}$$

Đặt $m = y(x-1) \implies m^3 = (x^3-1)(x-1)^3 = \underbrace{(x-1)^4}_{\gt 0}(\underbrace{x^2+x+1}_{\gt 0}) > 0$

Thay $m$ vào phương trình:

$$\begin{align*} (x^3 - 1)(x-1)^3 + m^3 = 0 \\ \iff (x^3 - 1)(x^3 -3x^2 + 3x - 1) + m^3 = 0 \\ \iff x^6 - 3x^5 + 3x^4-x^3 -x^3 + 3x^2 - 3x + 1 + m^3 = 0 \\ \iff x^6 - 3x^5 + 3x^4-2x^3 + 3x^2 - 3x + 1 + m^3 = 0 (*) \end{align*}$$

Nếu $m=-1 $ :
$(*) \iff x(x^5 - 3x^4+3x^3-2x^2 + 3x - 3) = 0 \iff x = 0,\pm 1, \pm3$ mà theo giả thiết: $x \in \mathbb Q \implies x \ne \pm 3$ do đó $m \ne -1$

Nếu $m \ne 0, 1$ lúc đó $(*)$ không có nghiệm hữu tỷ (theo Galois).

Vậy ta đã chứng minh định lý cho trường hợp $n=3$

Chứng minh định lý Fermat lớn cho n=3

Chứng minh