Năm 2025 - Những điều thú vị về con số 2025

Đầu tiên, 2025 là một con số chính phương: \(\boxed {2025 = 45^2}\).

Khi nhắc đến số chính phương, ngay lập tức mình nghĩ đến một số thứ liên quan:

Thứ nhất, ta có thể nhớ đến một công thức rất nổi tiếng là một số chính phương là tổng một dãy hữu hạn các số lẻ:

$$1+3+\dots+(2n-1) + (2n+1) = n^2$$

Như vậy:

\(45^2 = 1+3+5+\dots+(45\times2+1) = 1+3+5+\dots+91\)

Hơn nữa, bản thân số \(45 \) cũng khá đặc biệt vì nó bằng tổng các số từ \(1 \to 9\):

$$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$$

Từ đây, lại nhớ đến một công thức cực kỳ thú vị như sau:

$$( 1+2+3+\dots+n)^2 = 1^3+2^3+3^3+\dots+n^3$$

Từ đó suy ra:

$$(1+2+3+\dots+9)^2 = 45^2 = \boxed{2025= 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3}$$

Điều này đã xảy ra vào năm \(1296\), lúc đó \((1+2+3+\dots+8)^2 = 36^2 = 1296 = 1^3+2^3+\dots+8^3\), nghĩa là đã cách đây \(729\) năm. Chúng ta sẽ phải chờ đến năm \(3025\), nghĩa là đúng \(1000\) năm sau điều thú vị này mới xảy ra lại.

Tiếp theo, mình xin giới thiệu một số bài chứng minh các công thức mình đã dùng ở bên trên:

Công thức 1: \(\displaystyle 1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)

Công thức 2: \(1+3+5+\dots+(2n+1) = n^2\)

Công thức 3: \((1+2+\dots+n)^2 = 1^3+2^3+\dots+n^3\)

Vấn đề cần chứng minh:

$$(1+2+\dots+n)^2 = 1^3+2^3+\dots+n^3 \quad \stackrel{(*)}{}$$

Ta có:

$$(1+2+\dots+n)^2 = \left(\frac {n(n+1)} 2\right)^2 = \frac {n^4+2n^3+n^2} 4$$

Áp dụng nguyên lý quy nạp. Ta có:

$$1^2 = 1^3 \quad \checkmark$$

Giả sử công thức \(\stackrel{(*)}{}\)đúng đến \(k\):

$$\frac {k^4+2k^3+k^2} 4 = 1^3+2^3+\dots+k^3$$

Ta chứng minh công thức vẫn đúng với \(k+1\), nghĩa là:

$$\begin{align*} 1^3+2^3+\dots+ k^3+ (k+1)^3 &= (1+2+\dots+k+(k+1))^2\\ (1^3+2^3+\dots+ k^3) + (k+1)^3 &= \frac{k^4+2k^3+k^2} 4 + (k+1)^3 \\ &= \frac{k^4+2k^3+k^2} 4 + (k^3+3k^2+3k+1) \\ &= \frac{k^4+2k^3+k^2 + 4(k^3+3k^2+3k+1) } 4 \\ &= \frac{k^4+6k^3+13k^2 +12k + 4} 4 \\ &= \frac{k^4+ 9k^2 + 4 + 2(3k^3+2k^2+6k)} 4 \\ &= \frac{(k^2)^2+ (3k)^2 + 2^2 + 2(k^2.3k+2.k^2+3k.2)} 4 \\ &= \frac{(k^2 + 3k + 2)^2} {2^2}\\ &= \left(\frac{(k+1)(k+2)} 2 \right)^2 = (1+2+\dots+(k+1))^2 \quad \checkmark \end{align*}$$