Nội suy Lagrange
Cho đa thức bậc $n$ có dạng \(p(x) = a_0 + a_1x+a_2x^2 + \dots + a_nx^n\) và \(n+1 \) điểm phân biệt \((x_0,y_0), (x_1,y_1), \dots,(x_n,y_n)\) sao cho \(p(x_i)=y_i\) với \(0\le i \le n\) thì $p(x)$ là đa thức bậc $n$ duy nhất đi qua toàn bộ các điểm ấy.
Ngược lại, nếu có \(n+1\) điểm phân biệt \((x_0,y_0), (x_1,y_1), \dots,(x_n,y_n)\) và suy ra $p(x)$ ta áp dụng công thức:
$$p(x) = \sum_{i=0}^ny_i.\ell_i(x)$$
với
$$\ell_i(x) = \prod_{j=0, j \ne i}^n \frac {x-x_j}{x_i-x_j}$$
Ví dụ: Tìm đa thức qua ba điểm \((1,2),(2,-3),(4,5)\):
Tìm đa thức thành phần:
\(\displaystyle \ell_0(x) = \frac {(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} = \frac {(x-2)(x-4)}{(1-2)(1-4)} = \frac {x^2-6x+8} 3\)
\(\displaystyle \ell_1(x) = \frac {(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} = \frac {(x-1)(x-4)}{(2-1)(2-4)} = \frac {x^2-5x+4} {-2}\)
\(\displaystyle \ell_2(x) = \frac {(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} = \frac {(x-1)(x-2)}{(4-1)(4-2)} = \frac {x^2-3x+2} 6\)
Tính \(p(x)= y_0\ell_0(x) +y_1\ell_1(x) + y_2\ell_2(x) = 2\ell_0(x) -3\ell_1(x) + 4\ell_2(x) = \boxed{3x^2-14x+13}\)
Bài viết này sẽ giải thích ý nghĩa của công thức trên.
Ý nghĩa các đa thức thành phần \(\ell_i(x)\)
Nếu nhìn vào công thức để tính các đa thức thành phần \( \ell_i(x) = \prod_{j=0, j \ne i}^n \frac {x-x_j}{x_i-x_j}\) ta có thể nhận thấy nó có các tính chất sau:
Là một đa thức bậc $n$
Có giá trị bằng $0$ tại tất cả các điểm \(x = x_j\) với \(j \ne i\), nghĩa là với \(\ell_0(x)\) thì giá trị tại các điểm \(\ell_0(x_1),\ell_0(x_2),\dots\) đều là $0$
Có giá trị bằng $1$ tại điểm \(x=x_i\), nghĩa là \(\ell_i(x_i)=1\)
Ý nghĩa công thức tổng quát
Nhìn vào công thức tổng quát, ta có \( p(x) = \sum_{i=0}^ny_i.\ell_i(x)\), là tổng của các đa thức thành phần thỏa:
Mỗi đa thức thành phần đều có bậc $n$
Tại bất kỳ mọi điểm \(x=x_i\) thì \(p(x_i) = y_i.\ell_i(x_i)\) vì tất cả các điểm \(x=x_j\) đều bằng $0$. Hơn nữa như đề cập ở trên, nếu \(x=x_i\) thì \(\ell_i(x_i)=1\) nên suy ra \(p(x_i) = y_i.\ell_i(x_i) = y_i\)
Như vậy công thức tổng quát của phương pháp nội suy Lagrange thực chất là tổng các đa thức thành phần, mà mỗi đa thức thành phần có giá trị bằng $1$ tại điểm tương ứng với nó.