Bài toán truy tìm kho báu
Đề bài
Một nhóm bạn nhặt được bản đồ giấu kho báu với chỉ dẫn như sau:
Bắt đầu từ khu cổ mộ, đi thẳng về hướng đại giảng đường, sau đó rẽ trái 90 độ và đi bằng đúng cự ly đã đi, đánh dấu điểm đó là điểm thứ 1.
Lại bắt đầu từ khu cổ mộ, đi thẳng về hướng của giếng nước, rẽ phải 90 độ và đi bằng đúng cự ly đã đi, đánh dấu điểm đó là điểm thứ 2.
Kho báu được chôn ở ngay giữa hai điểm này.
Rủi thay, khi nhóm bạn đến địa điểm chôn kho báu thì khu cổ mộ đã không còn dấu tích, chỉ có thể tìm ra đại giảng đường và cái giếng.
Lời giải bằng phương pháp hình học sơ cấp
Để cho gọn, ta đặt tên cho các địa điểm như sau:
D - Đại Giảng Đường
G - Giếng nước
A - Điểm thứ nhất
B - Điểm thứ hai
K - Kho báu
Theo đề bài, kho báu đã bị mất dấu, ta gọi điểm M là Cổ Mộ là một điểm tùy ý rồi theo chỉ dẫn, tìm được hai điểm A và B. Ta sẽ chứng minh kho báu (điểm K) không phụ thuộc vào vị trí của Cổ Mộ (điểm M) mà chỉ phụ thuộc vị trí của Đại Giảng Đường (điểm D) và Giếng Nước (điểm G).
Lần lượt dựng các đường vuông góc AC, MH, KI, BE với đường thẳng DG. Ta có ACEB là hình thang vuông, có đường trung bình là KI. Do đó KI = (AC+BE)/2 (*).
Tam giác ACD = tam giác DHM, tam giác BEG = tam giác GMH, suy ra: CD = MH = GE (**) và AC = DH, BE = GH (***).
Từ (*) (**) suy ra DI = IG. Vậy I là trung điểm của DG, suy ra K nằm trên đường trung trực của DG.
Từ (*) (***) suy ra KI = (AC+BE)/2 = (DH+HG)/2 = DG/2.
Như vậy, với bất kỳ điểm M nằm ở đâu, ta luôn có:
Điểm K nằm trên đường trung trực của đoạn DG.
Điểm K cách DG một khoảng cách đúng bằng DG/2.
Lời giải bằng phương pháp lượng giác
Ta đặt tên các điểm tương tự như lời giải hình học:
D - Đại Giảng Đường
G - Giếng nước
A - Điểm thứ nhất
B - Điểm thứ hai
Để đơn giản, ta đặt D tại tọa độ \((0,0)\) và G tại \((1,0)\), điểm M tùy ý tại tọa độ \((x,y)\). Lúc này, ta có:
Điểm A sẽ nằm tại tọa độ \((-y,x)\) vì: tam giác DAJ = tam giác DMH.
Điểm B sẽ nằm tại tọa độ \((1+y,1-x)\) vì: tam giác BKG = tam giác GHM
Như vậy, tọa độ điểm M, là trung điểm của AB sẽ là \(\displaystyle (\frac{-y+1+y} 2, \frac{x+1-x} 2) = (\frac 1 2, \frac 1 2)\)
Không phụ thuộc vào tọa độ của M.