Trò ảo thuật cho cuối năm (âm lịch 2024 ) - Một ứng dụng của lý thuyết nhóm

Video Demo

Thực hiện

Bước 1: Chọn trong bộ bài ra 10 lá bài gồm: 10,J,Q,K,A chuồn và 10,J,Q,K,A cơ, và xếp theo đúng thứ tự như vậy và đưa cho mọi người xem:

$$10\clubsuit, J\clubsuit,Q\clubsuit,K\clubsuit,A\clubsuit,10\heartsuit,J\heartsuit,Q\heartsuit,K\heartsuit,A\heartsuit$$

Bây giờ, lật úp tất cả lại và cho phép mọi người cắt bài ngẫu nhiên (nghĩa là lấy tùy ý một số lá bài trên đỉnh và đưa xuống đáy), không giới hạn số lần.

Bước 2: Sau đó, chia đều mỗi bên 5 lá bài bằng cách lấy từng lá bài trên đỉnh xấp đưa sang 1 tụ, tụ kia là 5 lá còn lại.

Sau khi chia xong bạn có 2 tụ, mỗi tụ 5 lá.

Bước 3: Bây giờ, bạn yêu cầu khán giả chọn hai số ngẫu nhiên cho mỗi tụ, sao cho tổng hai số ấy là 4. Ví dụ: Bên trái: 3, bên phải: 1, hoặc mỗi bên 2, hoặc bên trái :0, bên phải:4… tùy ý, miễn là tổng 2 bên là 4.

Tiếp theo, lần lượt thực hiện đảo vị trí từng lá bài trên đỉnh mỗi tụ và đưa xuống đáy tụ ấy (giống như cắt bài ở bước 1 tuy nhiên chỉ thực hiện với 1 lá bài) theo đúng con số mà khán giản yêu cầu ban đầu, ví dụ 3 lần bên trái và 1 lần bên phải.

Bước 4: Lật hai lá bài trên đỉnh mỗi tụ ra cho mọi người xem. Nếu bạn làm đúng, đó sẽ là một đôi (hai lá bài giống nhau nhưng khác chất). Rồi bỏ 2 lá đó ra ngoài, bây giờ còn 4 lá mỗi tụ.

Bước 5: Lặp lại bước 3, bước 4 nhưng giảm dần tổng số xuống còn 3, 2, 1. Bạn cũng sẽ thấy mỗi lần lật 2 lá bài trên đỉnh, chúng đều là 1 đôi.

Mẹo nằm ở đâu?

Để ý rằng với cách sắp xếp như ở bước 1:

$$10\clubsuit, J\clubsuit,Q\clubsuit,K\clubsuit,A\clubsuit,10\heartsuit,J\heartsuit,Q\heartsuit,K\heartsuit,A\heartsuit$$

Tất cả các lá bài đều cách lá có giá trị tương đương nhưng khác chất 4 lá bài:\(10 \clubsuit\) cách \(10 \heartsuit\) 4 lá (\(J\clubsuit,Q\clubsuit,K\clubsuit,A\clubsuit\)), hoặc \(Q \clubsuit\) cách \(Q \heartsuit\) 4 lá (\(K\clubsuit,A\clubsuit,10\heartsuit,J\heartsuit\)).

Và nếu xếp các lá bài theo thứ tự như vậy trên một hình tròn, tính chất trên luôn đúng với tất cả các lá bài:

Ví dụ: \(10 \heartsuit \to 10 \clubsuit: J \heartsuit,Q \heartsuit,K \heartsuit,A \heartsuit\) hay \(K \heartsuit \to K \clubsuit: A \heartsuit, 10 \clubsuit,J \clubsuit,Q \clubsuit\)

Như vậy có thể thấy là cách cắt bài như ở bước 1 không hề làm thay đổi vị trí tương quan giữa cách lá bài mà giống như xoay hình tròn vậy, khoảng cách giữa chúng luôn được bảo toàn là 4 lá. Nếu làm một phép ánh xạ tuần tự các lá bài số \(10 \to A\) thành \(0 \to 4\), chúng ta có một nhóm vòng modulo 5 (cyclic group).

Ở bước 2, với cách chia bài để tạo thành tụ thứ 2, chúng ta đã ngầm đảo vị trí của các lá bài trong tụ thứ 2 so với tụ thứ nhất. Nếu gọi các lá bài ở tụ 1 là \(c_1,c_2,c_3,c_4,c_5\) với \(c_i\) là là phần tử của nhóm vòng modulo 5, thì ở tụ 2 các lá bài có giá trị là \(c_5,c_4,c_3,c_2,c_1\).

Vì vậy, nếu thực hiện Bước 3, chúng ta chắc chắn sẽ còn 2 lá đầu tiên của 2 tụ là giống nhau. Bạn có thể tự chứng minh điều này :)