Xem bản tiếng Việt
The Basel problem is a famous problem that was posed in 1644 and solved by the genius mathematician Leonard Euler in 1734. The problem requires the sum of the infinite series:
Euler later proved that this sum is equal to
If you search for the string “Basel problem”, you will find many different ways to prove this problem. While wandering around the internet, I accidentally found a quite interesting and “beautiful” elementary proof for this problem by R J Ransford in Eureka magazine No. 42, published in the summer of 1982. Below is the note of the solution.
PermalinkDe Moivere's formula
According to Euler:
Then:
Implies:
Expanding the right side of the formula we have:
Comparing the imaginary parts of the right and left sides, we deduce:
PermalinkVieta's formula for higher degree polynomials
Given a polynomial of degree
Specific case of the above formula:
PermalinkThe proof
First, let's prove the formula:
Indeed, reapplying the above
Let
Let
Add
Apply
Seeing that when
Multiply all terms to
When
Subscribe to our newsletter
Read articles from Legos' writes and shares directly inside your inbox. Subscribe to the newsletter, and don't miss out.
Article Series
Fun Maths & Statistics
What is i^i?
According to the great well-known Euler's formula: $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$Let \(\…
How to lie with statistics [1] - Darrell Huff
This chapter dives into the concept of sample bias, illustrating how a seemingly impressive statisti…
How to lie with statistics [3] - Darrell Huff
The chapter emphasizes the importance of scrutinizing what is not presented in statistics, as the ab…
How to lie with statistics [4] - Darrell Huff
This chapter delves into the concept of statistical significance and how it can be misinterpreted or…
How to lie with statistics [5] - Darrell Huff
The chapter discusses how visual representations of data, particularly graphs, can be manipulated to…
How to lie with statistics [6] - Darrell Huff
This chapter explores how visual representations, particularly those using images and pictograms, ca…
How to lie with statistics [7] - Darrell Huff
The chapter explores the misleading practice of using statistics that are factually accurate but fal…
How to lie with statistics [8] - Darrell Huff
In this chapter, we explore the fallacy of assuming that correlation implies causation, often summar…
How to lie with statistics [9] - Darrell Huff
"Statisticulate" is a term coined by the author to describe the deliberate misuse of statistics to m…
How to lie with statistics [10] - Darell Huff
The final chapter wraps up everything by serving as a guide for readers to critically evaluate stati…
Nghịch lý Hai Phong Bì
💡 Có hai phong bì, một phong bì chứa số tiền gấp đôi phong bì còn lại. Bạn được chọn một phong bì n…
Nghịch lý Bertrand
Nghịch lý Bertrand là một bài toán cổ điển trong lý thuyết xác suất, được đặt tên theo nhà toán học …
Nghịch lý Ngày Sinh Nhật
💡 Trong một lớp học có 50 em học sinh thì tỷ lệ có 2 em học sinh trùng ngày sinh nhật với nhau là t…
Vài bài toán hình học ngụy biện toán học
Ngụy biện toán học là một dạng sai lầm trong lập luận toán học, trong đó một kết luận không chính xá…
Nghịch lý Simpson
Nghịch lý Simpson, còn được gọi là hiệu ứng Yule-Simpson, là một hiện tượng trong xác suất và thống …
Khám phá công thức của Phân Phối Chuẩn
Mọi người ai học qua môn xác suất thống kê đều đã từng vô cùng “vật vã“ với công thức của Phân Phối …
Một câu đố đến lúc biết lời giải cũng không tin nổi!
💡 Có 100 tù nhân được đánh mã số từ 1 đến 100. Một căn phòng chứa 100 chiếc hộp đậy nắp, trên nắp c…
An elementary proof for the Basel Problem
Xem bản tiếng Việt The Basel problem is a famous problem that was posed in 1644 and solved by the ge…
Note về Định Lý Giới Hạn Trung Tâm
💡 Định lý Giới hạn Trung tâm (CLT - Central Limit Theorem) là một trong những định lý quan trọng nh…
Sum Free Set - Một chứng minh đẹp
💡 Đi lang thang lướt trên internet, mình tìm thấy một bài toán rất hay được chứng minh bằng kỹ thuậ…
Chứng minh định lý Fermat lớn cho n=3
💡 Định lý Fermat lớn (the Fermat’s last theorem) là một trong những bài toán nổi tiếng nhất trong l…
Fast Fourier Transform notes
💡 Có thể nói Fast Fourier Transform là một trong những thuật toán tuyệt vời nhất trong nhành khoa h…
Cantor đã sai ! [Vitalik Buterin]
💡 Mình tình cờ đọc được một bài viết cực kỳ thú vị của tác giả - thiên tài Vitalik Butarin. Anh ta …